元日は，1年の最初の日で，1月1日のことです。
元旦は，元日の朝，元日のことです。
元旦の「旦」の字は，太陽が地平線から出るさまを表した漢字で，朝や夜明けを表すため，元旦は1月1日の朝のみを表すともいわれますが，1月1日（元日）も意味します。
しかし，元旦が元日の朝も意味することには変わりないため，1月1日の朝をいう場合は，「元旦の朝」とはいわず「元日の朝」というのが正しいことになります。

年賀状は，1月1日の朝に届くよう出すのが礼儀であるため，日付は「元日」ではなく，ふつうは「元旦」と書きます。
「〇〇年元旦」と年号を付けることは良いのですが，「一月元旦」と月を付けてしまうと，1月が重複するため間違いです。

正月は1月のことで，元日や元旦と異なり，1年の最初の月を表します。
ただし，元日から1月末日までの1カ月間を指して使われることは少なく，一般には正月を祝う期間を指します。
その期間は，大きく分けると三が日と松の内に分けられます。

三が日は，元日から3日間のことです。
国民の祝日は元日のみですが，官公庁や金融機関などは三が日を休日とし，一般企業もこれに準じていることが多くあります。
また，新年を迎えて世の中がお祭りムードになっている期間でもあるため，「正月休み」や「正月気分が抜けない」など，元日に近い意味での「正月」は，三が日のことをいいます。

松の内は，正月の松飾りのある内の意味で，風習・行事としていう場合の「正月」は，松の内を指していることが多いと考えられます。
昔は元日から15日までを「松の内」といっていましたが，現在は7日までをいうのが一般的です。
ただし，地域の風習によって違いがあり，関西地方では15日（小正月）までが多く，一部地域では20日（二十日正月）までというところもあります。