この問題の考え方としては、

偶数から偶数、奇数から奇数を引くと偶数
偶数から奇数、奇数から偶数を引くと奇数
これがポイントです。

たとえば最上段を偶数ばかりにすると、

偶数：ぐ、奇数：き　と表記します。

ぐぐぐぐ
ぐぐぐ
ぐぐ
ぐ

となります。
１〜１０の中には、偶数が５つ、奇数が５つあるので、ぐが１０こでは不可能であることがわかります。

同様に、上段が奇数ばかりだと

きききき
ぐぐぐ
ぐぐ
ぐ

偶数が６つで、奇数が４つ。これもあり得ません。

そうすると、偶数５つ、奇数５つの組み合わせは、次の３とおりしかないことがわかります。

ぐきぐき
ききき
ぐぐ
ぐ

ぐきぐぐ
ききぐ
ぐき
き

ぐぐきき
ぐきぐ
きき
ぐ

もちろん、１８０度ひっくり返したものも同じと考えて下さい。

しかも、１０は最上段しかあり得ません。
９は２段目がありますが、その上は１０と１しかあり得ません。

８も２段目があり得ますが、その上は１０と２、９と１しかあり得ません。

これを考えながら埋めていくと、次の４とおりの解が出てきます。

ぐきぐき
ききき
ぐぐ
ぐ

８３10９
５７１
２６
４

ぐきぐぐ
ききぐ
ぐき
き

８１10６
７９４
２５
３

６１10８
５９２
４７
３

ぐぐきき
ぐきぐ
きき
ぐ

８10３９
２７６
５１
４

もちろん、全ての場合を試せばいつかはできるのですが、いかに整理するかがポイントですね。

わかりましたか？